Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（I）求异面直线AA₁和BD₁所成角的大小；
（II）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（III）求二面角C₁-DE-C的大小．

Answer 1

分析：（I）∠B₁BD₁是异面直线AA₁和BD₁所成的角，解直角三角形，求出此角的大小．
（II）连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO，由三角形中位线的性质得 EO∥BD₁，由线线平行证明线面平行．
（III）根据三垂线定理找出二面角的平面角，并证明之，把此角放在直角三角形C₁CH中，利用直角三角形中的边角关系，
求出此角的大小．

解答：（本小题满分14分）
解：（I）解：
连接B₁D₁．
∵在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥BB₁，
∴∠B₁BD₁是异面直线AA₁和BD₁所成的角．（2分）
即在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE．（14分）
在△B1BD 1中，B1D1=2

2

，∴tanB1BD1=

B1D1

B1B

=

2 2

3

，
即异面直线AA₁和BD₁所成角的大小为arctan

2 2

3

.（4分）

（II）证明：
连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO．
∵CDD₁C₁是矩形，
∴O是CD₁的中点，
又E是BC的中点，
∴EO∥BD₁．（2分）
又BD₁?平面C₁DE，EO?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．（4分）

（III）解：
过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H．
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，
∴C₁H⊥DE，
∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角．（11分）
在△CDE中，CD=2，CE=1，∴CH=

CD•CE

DE

=

2

5

.
在△C₁CH中，CC₁=3，∴tanC1HC=

CC1

CH

=

3 5

2

，（13分）
∴二面角C₁-DE-C的大小为arctan

3 5

2

.（14分）

点评：本题考查异面直线所称的角的求法，证明线面平行的方法，以及求二面角的大小的方法．