Question

在△ABC中，已知内角A=

π

3

，边BC=2

3

，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由内角A=

π

3

，边BC=2

3

，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．
（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．

解答：解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，
由A=

π

3

，B＞0，C＞0得
0＜B＜

2π

3

．
应用正弦定理，知
AC=

BC

sinA

sinB=

2 3

sin π 3

sinx=4sinx，
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x)．
因为y=AB+BC+AC，
所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)，
（2）∵y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)，
所以，当x+

π

6

=

π

2

，
即x=

π

3

时，
y取得最大值6

3

．

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

2π

ω

进行求解．