Question

【题目】已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，则（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x）， ∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）f′（x）（x﹣2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；
∵2＜a＜4，
令g（x）= ，x∈（2，4），则g′（x）= ，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，
故g（x）在（2，e）递减，在（e，4）递增，
故g（x）的最大值是g（2）=g（4）= ，最小值是g（e）= ；
令h（x）= ，则h′（x）= ，
故h（x）在（2，e）递增，在（e，4）递减，
故h（x）的最小值是h（2）=h（4）= ，h（x）的最大值是h（e）= ，
故2＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴f（ ）＜f ，
而2x＞4，故f（2x）＞f（0），
∴f（ ）＜f ＜f（2x），
故选：B．
由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．