Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．

（1）求证：A₁D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60⁰？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==
∴AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得
DE==
∵AD²+DE²=4=AE²，∴AD⊥DE．
折叠后，仍有A₁D⊥DE
∵二面角A₁-DE-B成直二面角，∴平面A₁DE⊥平面BCDE
又∵平面A₁DE∩平面BCDE=DE，A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE
∴A₁D丄平面BCED；
（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°
如图，作PH⊥BD于点H，连接A₁H、A₁P
由（1）得A₁D丄平面BCED，而PH?平面BCED
所以A₁D丄PH
∵A₁D、BD是平面A₁BD内的相交直线，
∴PH⊥平面A₁BD
由此可得∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，即∠PA₁H=60°
设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，所以A₁H=，
在Rt△DA₁H中，A₁D=1，DH=2-x
由A₁D²+DH²=A₁H²，得1²+（2-x）²=（x）²
解之得x=，满足0≤x≤3符合题意
所以在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB=．
分析：（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD²+DE²=AE²，所以AD⊥DE．结合题意得平面A₁DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A₁D丄平面BCED；
（2）作PH⊥BD于点H，连接A₁H、A₁P，由A₁D丄平面BCED得A₁D丄PH，所以PH⊥平面A₁BD，可得∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，即∠PA₁H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA₁H、Rt△PA₁H和Rt△DA₁H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得1²+（2-x）²=（x）²，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°．
点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．