解:(1)∵正△ABC的边长为3,且
=
=
∴AD=1,AE=2,
△ADE中,∠DAE=60°,由余弦定理,得
DE=
=
∵AD
2+DE
2=4=AE
2,∴AD⊥DE.
折叠后,仍有A
1D⊥DE
∵二面角A
1-DE-B成直二面角,∴平面A
1DE⊥平面BCDE
又∵平面A
1DE∩平面BCDE=DE,A
1D?平面A
1DE,A
1D⊥DE
∴A
1D丄平面BCED;
(2)假设在线段BC上存在点P,使直线PA
1与平面A
1BD所成的角为60°
如图,作PH⊥BD于点H,连接A
1H、A
1P
由(1)得A
1D丄平面BCED,而PH?平面BCED
所以A
1D丄PH
∵A
1D、BD是平面A
1BD内的相交直线,
∴PH⊥平面A
1BD
由此可得∠PA
1H是直线PA
1与平面A
1BD所成的角,即∠PA
1H=60°
设PB=x(0≤x≤3),则BH=PBcos60°=
,PH=PBsin60°=
x
在Rt△PA
1H中,∠PA
1H=60°,所以A
1H=
,
在Rt△DA
1H中,A
1D=1,DH=2-
x
由A
1D
2+DH
2=A
1H
2,得1
2+(2-
x)
2=(
x)
2解之得x=
,满足0≤x≤3符合题意
所以在线段BC上存在点P,使直线PA
1与平面A
1BD所成的角为60°,此时PB=
.
分析:(1)等边△ABC中,根据
得到AD=1且AE=2,由余弦定理算出DE=
,从而得到AD
2+DE
2=AE
2,所以AD⊥DE.结合题意得平面A
1DE⊥平面BCDE,利用面面垂直的性质定理,可证出A
1D丄平面BCED;
(2)作PH⊥BD于点H,连接A
1H、A
1P,由A
1D丄平面BCED得A
1D丄PH,所以PH⊥平面A
1BD,可得∠PA
1H是直线PA
1与平面A
1BD所成的角,即∠PA
1H=60°.设PB=x(0≤x≤3),分别在Rt△BA
1H、Rt△PA
1H和Rt△DA
1H中利用三角函数定义和勾股定理,建立等量关系得1
2+(2-
x)
2=(
x)
2,解之得x=
,从而得到在BC上存在点P且当PB=
时,直线PA
1与平面A
1BD所成的角为60°.
点评:本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题.