Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥x²+（a-3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）f′（x）=e^x+4x-3则f'（1）=e+1，又f（1）=e-1
∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1）
即（e+1）x-y-2=0
（II）由f（x）≥x²+（a-3）x+1得
e^x+2x²-3x≥x²+（a-3）x+1即ax≤e^x-x²-1
∵x≥1∴a≤
记g（x）=，则g'（x）=
记φ（x）=e^x（x-1）-x²+1则φ′（x）=x（e^x-1）
∵x≥1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥φ（1）=＞0
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥g（1）=e-
由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）_min，
∴a≤e-即a的取值范围是（-∞，e-]
分析：（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（II）关于x的不等式f（x）≥x²+（a-3）x+1恒成立将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧函数在[1，+∞）上的最值，即可求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，解决此类问题的方法是将参数a进行分离，属于中档题．