Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点．AF=

3

（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线CE与面ADEB所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取CE中点P，连接FP，BP根据中位线的性质可知FP∥DE，且FP=

1

2

DE．同时AB∥DE，且AB=

1

2

DE．进而推断出AB∥FP，且AB=FP，判断出
ABPF为平行四边形进而可知AF∥BP，最后根据线面平行的判定定理可推断出AF∥平面BCE．
（2）利用AF，CD判断出△ACD为正三角形，推断出AF⊥CD，进而利用AB⊥平面ACD，DE∥AB推断出DE⊥AF，根据AF⊥CD，CD∩DE=D推断出AF⊥平面CDE，根据平面与平面垂直的判定定理可知平面BCE⊥平面CDE．
（3）过C作CG⊥AD于G，连接EG，则G为AD中点根据线面垂直的性质可推断出AB⊥CG，同时CG⊥AD，CG∩AD=G进而推断出CG⊥面ADEB
判断∠CEG为直线CE与面ADEB所成的角． 然后分别利用勾股定理求得EG和CG，进而求得tan∠CEG答案可得．

解答：解：（1）取CE中点P，连接FP，BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（2）∵AF=

3

∴CD=2，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）过C作CG⊥AD于G，连接EG，则G为AD中点．
∵AB⊥平面ACD，CG?面ACD
∴AB⊥CG
∵CG⊥AD，CG∩AD=G
∴CG⊥面ADEB
∴CG⊥EG，∠CEG为直线CE与面ADEB所成的角．
在Rt△EDG中，EG=

DG2+EG2

=

12+22

=

5

，
在Rt△CDG中，CG=

CD2-DG2

=

22-12

=

3

，
在Rt△CEG中，tan∠CEG=

CG

GE

=

3

5

=

15

5

．即直线CE与面ADEB所成的角的正切值为

15

5

．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角．考查了学生综合基础知识的运用．