Question

已知函数f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函数，则a=

-

1

2

．用符号[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是

{0，-1}

．

Answer 1

分析：直接根据奇函数中f（0）=0即可求出a；再化简函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，对x的正、负、和0分类讨论，求出[f（x）]+[f（-x）]的值．

解答：解：∵函数f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函数；
∴f（0）=

20

1+20

+a=0⇒a=-

1

2

，
∴f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

当x＞0，0≤f（x）＜

1

2

[f（x）]=0
当x＜0，-

1

2

＜f（x）＜0，[f（x）]=-1
当x=0，f（x）=0，[f（x）]=0
所以：当x=0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0
当x不等于0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0-1=-1
所以，y的值域：{0，-1}
故答案为：-

1

2

，{0，-1}．

点评：本题考查函数的值域，函数的单调性奇偶性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．