Question

12．在四面体S-ABC中，若$SA=CB=\sqrt{5}$，$SB=AC=\sqrt{10}$，$SC=AB=\sqrt{13}$，则这个四面体的外接球的表面积为14π．

Answer 1

分析 构造长方体，使得面上的对角线长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，则长方体的对角线长等于三棱锥S-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥S-ABC外接球的表面积．

解答 解：∵三棱锥S-ABC中，$SA=CB=\sqrt{5}$，$SB=AC=\sqrt{10}$，$SC=AB=\sqrt{13}$，
∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$，
则长方体的对角线长等于三棱锥S-ABC外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=13，y²+z²=10，x²+z²=5，
∴x²+y²+z²=14
∴三棱锥S-ABC外接球的直径为$\sqrt{14}$，
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为4$π•（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}$=14π．
故答案为14π．

点评 本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．