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    如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）求点C的坐标；
    （3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

    （1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程，解出的值,（2）求点的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即，二是的中点在直线上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点的坐标，算出为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线： 上，所以可设，．选择作为参数，即用表示点的坐标.由三点共线，解得，同理解得.从而有，这里主要用到代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值.

    解析试题分析：（1）,（2）,（3）.
    试题解析：（1）由已知，得  解得 2分
    所以椭圆的标准方程为． 3分
    （2）设点，则中点为．
    由已知，求得直线的方程为，从而．①
    又∵点在椭圆上，∴．②
    由①②，解得（舍），，从而． 5分
    所以点的坐标为． 6分
    （3）设，，．
    ∵三点共线，∴，整理，得． 8分
    ∵三点共线，∴，整理，得． 10分
    ∵点在椭圆上，∴，．
    从而． 14分
    所以． 15分
    ∴为定值，定值为． 16分
    考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    (理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍．记动点的轨迹为曲线.
    (1)求曲线的方程；
    (2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；
    (3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．

    （1）求的值；
    （2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．
    （i）求四边形面积的最小值；
    （ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）直线与椭圆相交于、两点， 为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
    （1）求椭圆的方程；
    （2）设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，，求直线的方程.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

    (1)求证：A、C、T三点共线；
    (2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设A1、A2与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切．
    (1)求证：＝1；
    (2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点，若直线PA1、PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
    (3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    给定椭圆C：＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.
    (1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
    (2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；
    (3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.
     
    (1)求椭圆E的离心率； (2)已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

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