Question

（2011•嘉定区三模）已知a＞1，函数f（x）的图象与函数y=a^x-1的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-2x+2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（n＞m＞-1）上的值域为[loga

p

m

 ， loga

p

n

]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的图象与函数y=a^x-1的图象关于直线y=x对称，知函数y=f（x）是函数y=a^x-1的反函数，从而可解．
（2）利用f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，可得 f(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，f(n)=loga(n+1)=loga

p

n

，从而可转化为关于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有两个不同的解，故可解．
（3）将w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）_max，从而求函数的最大值即可．

解答：解：（1）由题意，函数y=f（x）是函数y=a^x-1的反函数，…（2分）
所以f（x）=log_a（x+1）（a＞1，x＞-1）．…（4分）
（2）因为a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，所以f(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，f(n)=loga(n+1)=loga

p

n

，…（6分）
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

（n＞m＞-1且m≠0，n≠0），…（7分）
即m、n是方程x+1=

p

x

（x∈（-1，0）∪（0，+∞））的两个不同解．…（8分）
即关于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有两个不同的解．
所以

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 - 1 2 ＞-1

，解得-

1

4

＜p＜0．
（3）F(x)=aloga(x+1)-loga(x2-2x+2)=aloga

x+1

x2-2x+2

=

x+1

x2-2x+2

，…（12分）
令t=x+1，t＞0，则x=t-1，于是F(x)=

t

(t-1)2-2(t-1)+2

=

t

t2-4t+5

=

1

t+ 5 t -4

，…（14分）
因为t＞0，所以t+

5

t

-4≥2

5

-4，当且仅当t=

5

时取等号．…（15分）
所以F(x)max=

1

2 5 -4

=

5 +2

2

．                 …（16分）
因为w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以w≥F（x）_max，…（17分）
因此w的取值范围是[

5 +2

2

 ， +∞)．                    …（18分）

点评：本题以反函数为依托，考查函数的解析式，研究函数的值域及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．