Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}
②M={（x，y）|y=e^x-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（　　）

A．①②④

B．②③

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．

解答：解：对于①y=

1

x

是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
例如（0，1）、（

π

2

，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是好集合；
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．
故选B．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．