Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1的等比数列{b_n}的公比为q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₂成等比数列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，求实数a，b的值．

Answer 1

解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．
由a₃=b₃，得，故有．①
由a₁，a₃，b₄成等差数列，得，故有．②
由①②解得a₁=3，q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，．
（2）∵，
，
若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，
则3n=b+nlog_a3，
∴，解得a=，b=0．
分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．由a₃=b₃，得，故有．由a₁，a₃，b₄成等差数列，得，故有．由此能求出{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）由，，知若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，则3n=b+nlog_a3，由此能求出实数a，b的值．
点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，尤其是恒成立问题的转化．