Question

在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数y=log₂x的图象交于C、D两点，若BC∥x轴，则四边形ABCD的面积为

4 3

3

log23

．

Answer 1

分析：设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．

解答：解：设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂由题设知，x₁＞1，x₂＞1．
则点A、B纵坐标分别为log₈x₁、log₈x₂．
因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1

x1

=

log8x2

x2

，
点C、D坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x轴知
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=x₁³．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁³=3x₁．
考虑x₁＞1解得x₁=

3

．
于是点A的坐标为（

3

，log₈

3

）即A（

3

，

1

6

log₂3）
∴B（3

3

，

1

2

log₂3），C（

3

，

1

2

log₂3），D（3

3

，

3

2

log₂3）．
∴梯形ABCD的面积为S=

1

2

（AC+BD）×BC=

1

2

（

1

3

log₂3+log₂3）×2

3

=

4 3

3

log23．
故答案为：

4 3

3

log23．

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．