Question

15．已知函数f（x）=2x-（a+2）lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．
（II）先求出f（x）的导数，分类讨论，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，再求出极值即可

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=2x-2lnx$\frac{a}{x}$．
∴f′（x）=2-$\frac{2}{x}$．
函数函数f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=0，
又f（1）=2，
故切线的方程为y-2=0，即y=2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2-$\frac{a+2}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-a）（x-1）}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，得x=1或x=$\frac{1}{2}$a，
①当0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2时，由f′（x）＜0，得到x∈（$\frac{a}{2}$，1），
由f′（x）＞0，得到x∈（0，$\frac{a}{2}$）∪（1+∞），
即f（x）的单调增区间是∈（0，$\frac{a}{2}$），（1+∞），单调减区间是（$\frac{a}{2}$，1），
所以，f（x）的极大值为f（$\frac{a}{2}$）=a-（a+2）ln$\frac{a}{2}$-2，
极小值为f（1）=2-a．
②当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，由f′（x）＜0，得到x∈（1，$\frac{a}{2}$），
由f′（x）＞0，得到x∈（0，1）∪（$\frac{a}{2}$，+∞），
即f（x）的单调增区间是∈（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞），单调减区间是（1，$\frac{a}{2}$），
所以，f（x）的极大值为f（1）=2-a，
极小值为f（$\frac{a}{2}$）=a-（a+2）ln$\frac{a}{2}$-2，
③当a=2时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）单调递增，
所以此时f（x）没有极值．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于中档题．