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证明:(1)当n=2时,等式左边=2+f(1)=2+1=3,等式右边=2f(2)=2(1+)=3,所以n=2时,等式成立.
(2)假设n=k(k≥2)时等式成立,即有
k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k)成立.
又f(k+1)=f(k)+,
当n=k+1时,
(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=[k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)]+[1+f(k)]
=k·f(k)+f(k)+1
=(k+1)[f(k+1)-]+1
=(k+1)f(k+1).
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知对一切n≥2的自然数都成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
用数学归纳法证明,若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).
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