Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=(-3，4)．
（1）求与

a

平行的单位向量

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且(

a

+2

b

)与(2

a

-

b

)垂直，求

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

分析：（1）设

c

=(x，y)，利用向量共线的条件及单位向量，建立方程，即可求得与

a

平行的单位向量

c

的坐标；
（2）利用向量垂直的条件及|

b

|=

5

2

，求得|

a

|=5，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．

解答：解：（1）设

c

=(x，y)，∵

c

∥

a

，

a

=(-3，4)，∴4x+3y=0，
∵|

c

|=1，∴x²+y²=1，联立方程解得

x=- 3 5 y= 4 5

或

x= 3 5 y=- 4 5

∴

c

=(-

3

5

，

4

5

)或

c

=(

3

5

，-

4

5

)…（4分）
（2）∵(

a

+2

b

)⊥（2

a

-

b

），∴(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
∴2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，即2|

a

|2+3

a

•

b

-2|

b

|2=0，
∵|

a

|=5，|

b

|=

5

2

，∴

a

•

b

=-

25

2

，∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-1，…（7分）
∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（8分）

点评：本题考查向量的平行与垂直，考查向量的数量积运算，考查学生的计算能力，属于中档题．