Question

已知函数f（x）=

x

x-1

．
（1）用函数单调性定义证明f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是单调减函数；
（2）求函数f(x)=

x

x-1

在区间[3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号下结论，即可证得；
（2）由（1）可知，函数f(x)=

x

x-1

在[3，4]上为单调递减函数，由此可得函数f(x)=

x

x-1

在区间[3，4]上的最大值与最小值．

解答：（1）证明：设x₁，x₂为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是单调减函数
（2）解：由（1）可知，函数f(x)=

x

x-1

在[3，4]上为单调递减函数
所以在x=3时，函数f(x)=

x

x-1

取得最大值

3

2

；在x=4时，函数f(x)=

x

x-1

取得最小值

4

3

．

点评：本题考查函数单调性的定义，考查利用单调性求函数的最值，掌握函数单调性的证题步骤是关键．