Question

已知动圆过定点D（1，0），且与直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C；
（2）过定点D（1，0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的定义知，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线，再用求抛物线方程的方法求出轨迹C的方程即可．
（2）要证明∠AED=∠BED，只需证明两个角的某一三角函数值相等，且角的范围相同，可利用这两角分别为两条直线的倾斜角，而两直线斜率相同来证即可．

解答：解：（1）由题知意：动圆圆心M的轨迹方程为：y²=4x，
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线
（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；
②当直线L与X轴不垂直时，依题意，可设直线L的方程为y=k（x-1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x-1) y2=4x

  消去x并整理，得ky²-4y-4k=0，y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4
则：k₁+k₂=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

y1(x2+1)+y2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 y1y22+ ′ 4 y2y12+y1+y2

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 y1y2(y2+ y2) +(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 (-4)( 4 k )+ 4 k

(x1+1)(x2+1)

=0．
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=TAN∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

，∴∠AED=∠BED．
综合①、②可知∠AED=∠BED．

点评：本题考查了定义法求轨迹方程，以及直线倾斜角与斜率的关系，做题时要认真．