Question

16．已知函数f（x）=x²-2ax-2（a+1）（a∈R）．
（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；
（2）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用△=4（a+1）²+4＞0恒成立，可证得：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，设A（x₁，0），B（x₂，0），利用韦达定理知x₁+x₂=2a，x₁x₂=-2（a+1），可求得|AB|²≥4，从而可得此两交点之间距离的最小值；
（2）依题意，可分离参数a，得到2a≤（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min，利用基本不等式可求得（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2，于是可求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：∵f（x）=x²-2ax-2（a+1）（a∈R），
∴△=4a²-4×（-2）（a+1）=4（a+1）²+4＞0恒成立，
∴函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，
设A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-2（a+1），
则|AB|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4（a+1）²+4≥4（当且仅当a=-1时取等号），
∴|AB|_min=2．
（2）解：若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，
则x²-2ax-2（a+1）+3=x²-2ax-2a+1≥0（x＞-1）恒成立，
分离参数a得：2a（x+1）≤x²+1（x＞-1）恒成立，
∵x＞-1，∴x+1＞0，∴2a≤（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min，
∵$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=x+1+$\frac{2}{x+1}$-2≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{2}{x+1}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，
∴（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2，
∴a≤$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查二次函数的性质的应用，分离参数a，利用基本不等式求得（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2是关键，属于难题．