Question

9．下列说法及计算不正确的命题序号是④
①6名学生争夺3项冠军，冠军的获得情况共有3⁶种；
②某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有60种；
③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0，f′（x）＜0，g′（x）＜0，则x＜0，f′（x）＞0，g′（x）＜0；
④${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=${∫}_{a}^{c}$f（x）dx+${∫}_{c}^{b}$f（x）dx（a＜c＜b）．

Answer 1

分析 ①由题意可得每项冠军获得情况都有6中可能，由分步乘法原理求得冠军的获得情况后加以判断；
②两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果；
③先利用函数奇偶性的定义判断出f（x），g（x）的奇偶性；利用导数与函数的单调性的关系判断出两个函数在（0，+∞）上的单调性，再据奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x），g（x）在（-∞，0）的单调性，再利用导数与函数的单调性的关系判断出两个导函数的符号；
④由积分公式说明正确．

解答 解：①6名学生争夺3项冠军，每项冠军获得情况都有6中可能，由分步乘法原理可得共有6³种，①错误；
②可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C₃¹C₄²种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C₃²C₄¹种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C₃¹C₄²+C₃²C₄¹=18+12=30种，②错误；
③∵对任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴f（x）为奇函数；g（x）为偶函数
∵x＞0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数；g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数；g（x）在（-∞，0）上为增函数，
∴f′（x）＜0；g′（x）＞0，则③错误；
④由${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=${∫}_{a}^{c}$f（x）dx+${∫}_{c}^{b}$f（x）dx（a＜c＜b），可知④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了简单的排列组合问题，训练了利用函数导函数的符号判断原函数的单调性，属中档题．