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下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题:
①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条;
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
3
3

③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥;
④点A1到直线BC1的距离是
6
3

其中真命题的编号是______.

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①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条,由图形中可以看出除了其所在面以及平行的两个面外的四个表面中每个面的两条面对角线都与与AD1成60°角,恰有8条,故命题正确;
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
,取底面ABCD中点O,可证得∠AA1O即是线AA1与平面A1BD所成角,求得线面角的余弦值为
6
3
,故此命题不对;
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥,由图形的结构知,以8个顶点为顶点,以此点出发的三条侧棱为侧棱可以 组成8个正三棱锥,由面对角线可以组成两个正四面体,共可以组成10个正三棱锥,故命题正确;
④点A1到直线BC1的距离是
6
3
,由于A1B1⊥侧面B1C,且侧面是正方形,连接B1C与BC1交于一点M,由正方形的性质知,此两直线垂直,连接A1M其长度即为所求点A1到直线BC1的距离,利用勾股定理解得,其长度是
6
2
,故命题不正确.
综上知①③正确
故答案为:①③.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题:
①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条;
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
3
3

③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥;
④点A1到直线BC1的距离是
6
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其中真命题的编号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•安徽模拟)下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1叙述正确的是
②④⑤
②④⑤

①任取四个顶点,共面的情况有8种;
②任取四个顶点顺次连接总共可构成10个正三棱锥;
③任取六个表面中的两个,两面平行的情况有5种;
④如图把正方体展开,正方体原下底面A1B1C1D1与标号4对应;
⑤在原正方体中任取两个顶点,这两点间的距离在区间(
10
2
3
)
内的情况有4种.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省成都市盐道街中学高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题

下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题:
①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条;
②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥;
④点A1到直线BC1的距离是
其中真命题的编号是   

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年安徽省皖南八校联考高三摸底数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1叙述正确的是   
①任取四个顶点,共面的情况有8种;
②任取四个顶点顺次连接总共可构成10个正三棱锥;
③任取六个表面中的两个,两面平行的情况有5种;
④如图把正方体展开,正方体原下底面A1B1C1D1与标号4对应;
⑤在原正方体中任取两个顶点,这两点间的距离在区间内的情况有4种.

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