【题目】(本小题满分16分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时,建造费用最小时当时,建造费用最小时.
【解析】
(1)由体积V=,解得l=,
∴y=2πrl×3+4πr2×c
=6πr×+4cπr2
=2π,
又l≥2r,即≥2r,解得0<r≤2
∴其定义域为(0,2].
(2)由(1)得,y′=8π(c﹣2)r﹣,
=,0<r≤2
由于c>3,所以c﹣2>0
当r3﹣=0时,则r=
令=m,(m>0)
所以y′=
①当0<m<2即c>时,
当r=m时,y′=0
当r∈(0,m)时,y′<0
当r∈(m,2)时,y′>0
所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.
②当m≥2即3<c≤时,
当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减.
所以r=2是函数y的最小值点.
综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;
当c>r=
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【题目】已知球O是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)A﹣BCD的外接球,BC=3,AB=2 ,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 .
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【题目】(1)椭圆C:+=1(a>b>0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:为定值b2﹣a2.
(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:=1(a>0,b>0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,则为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).
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【题目】在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下:
成绩/m | 1.50 | 1.60 | 1.65 | 1.70 | 1.75 | 1.80 | 1.85 | 1.90 |
人数 | 2 | 3 | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | 1 |
分别求这些运动员的成绩的众数、中位数、平均数(保留到小数点后两位),并分析这些数据的含义.
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【题目】已知函数f(x)=2sin2( +x)﹣ cos2x﹣1,x∈R,若函数k(x)=f(x+a)的图象关于点(﹣ ,0)对称,且α∈(0,π),则α=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=( )1﹣x , 则
①2是函数f(x)的一个周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④x=1是函数f(x)的一个对称轴;
⑤当x∈(3,4)时,f(x)=( )x﹣3 .
其中所有正确命题的序号是 .
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【题目】某个体服装店经营某种服装,该服装店每天所获利润y(元)与每天售出这种服装件数x之间的一组数据关系如下表:
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 74 | 81 | 89 | 90 | 91 |
(1)求利润y与每天售出件数x之间的回归方程 (回归直线的斜率用分数表示).
(2)若该服装店某天销售服装13件,估计可获利润多少元?
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【题目】已知函数f(x)=1﹣ ﹣lnx(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点( ,f( ))处的切线方程;
(2)当a≥0时,记函数Γ(x)= ax2+(1﹣2a)x+ ﹣1+f(x),试求Γ(x)的单调递减区间;
(3)设函数h(a)=3λa﹣2a2(其中λ为常数),若函数f(x)在区间(0,2)上不存在极值,求h(a)的最大值.
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