Question

某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合．
（1）将A，B两点间的直线距离d（cm）表示成时间t（s）的函数，其中t∈[0，60]；
（2）若h（t）=

5-d(60-20t)

，其中t∈[0，30]，求出函数h（t）的所有最高点坐标．

Answer 1

分析：（1）确定∠AOB，利用余弦定理，可求A，B两点间的直线距离d（cm）表示成时间t（s）的函数；
（2）利用余弦函数的最值，可得结论．

解答：解：（1）∵∠AOB=

t

60

×2π=

πt

30

∴由余弦定理可得|AB|=5

2(1-cos πt 30 )

=10cos

πt

60

，t∈[0，60]；
（2）h（t）=

5-d(60-20t)

=

5-10cos π(60-20t) 60

=

5+10cos t 3

，其中t∈[0，30]，
∴cos

t

3

=1时，，h（t）取得最大值为

15

此时，

t

3

=2kπ（k∈Z），∴t=6kπ
∵t∈[0，30]，∴t=0或6π
即函数h（t）的所有最高点坐标为（0，

15

）或（6π，

15

）．

点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．