Question

下列说法：
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”；
②设随机变量ξ～N（0，σ²），且P（ξ＜，则P（0＜ξ＜；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）为R上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x．
其中正确的是________．

Answer 1

①②④
分析：①特称命题：“?x∈A，非P（x）”的否定是全称命题：“?x∈A，P（x）”．结合已知中原命题“?x∈R，2^x＞3”，易得到答案．
②根据正态分布N（0，σ²）的密度函数的图象：由图象的对称性可得结果．
③先写出原命题的否命题，再根据函数在某点取得极值的条件，故可判断．
④本题函数解析式的求法是利用函数的奇偶性，已知当x＞0时的解析式求出x＜0时的解析式．
解答：①由题意，∵原命题“?x∈R，2^x＞3”
∴命题“?x∈R，2^x＞3”的否定是：““?x∈R，使2^x≤3”．正确；
②：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²）可知正态密度曲线关于y轴对称，
而P（ξ＜-1）=，
则P（ξ＞1）=，
故P（0＜ξ＜1）=-P（ξ＞1）=，正确；
③：命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是“函数f（x）不在x=x₀处有极值，则f′（x₀）≠0”
若“函数f（x）不在x₀处取得极值”，例如函数f（x）=x³，可知“f′（x₀）=0”也成立，
故否命题是假命题；
④：由已知，函数y=f（x）是R上的奇函数，
又设x＜0，则-x＞0，所以f（x）=-f（-x）=-2^（-x）；
正确．
故答案为：①②④
点评：本题考查的知识点是命题的否定，函数在某点取得极值的条件，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等．其中①掌上小题，熟练掌握全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．