分析 (1)求出导数,由导数小于0,可得减区间,注意定义域;
(2)由题意可得-a=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1)在($\frac{1}{e}$,e)上有两个实根,令h(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1),求出导数,求得单调区间、极值和最值,可得a的范围;
(3)由题意可得当x∈(1,x0)时,f(x)的图象恒在直线y=k(x-1)的上方,求出f(x)的单调区间,画出它们的图象,由直线和曲线相切,求得k,再由直线旋转可得k的范围.
解答 解:(1)函数f(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$的导数为
f′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)=$\frac{1-{x}^{2}+x}{x}$,(x>0),
由f′(x)<0,可得x>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,
即有f(x)的单调减区间为($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,+∞);
(2)由题意可得-a=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1)在($\frac{1}{e}$,e)上有两个实根,
令h(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1),h′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)-1=$\frac{(1-x)(1+x)}{x}$,
即有h(x)在($\frac{1}{e}$,1)递增,(1,e)递减,
且h(1)=0,h($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2-$\frac{1}{e}$>h(e)=2-e-$\frac{1}{2}$(e-1)2,
由题意可得-$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2-$\frac{1}{e}$<-a<0,
解得0<a<$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2+$\frac{1}{e}$;
(3)由题意可得当x∈(1,x0)时,f(x)的图象恒在直线y=k(x-1)的上方,
由f′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)=$\frac{1-{x}^{2}+x}{x}$,(x>0),可得f(x)的增区间为(1,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)
减区间为($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,+∞);
直线y=k(x-1)为过定点(1,0)的直线.
画出它们的图象,
当直线与曲线y=f(x)相切时,
切点为(1,0),可得k=f′(1)=1-(1-1)=1,
通过直线绕着定点(1,0)旋转,
可得k的取值范围是k<1.
点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|x≥-1} | B. | {x|x<3} | C. | {x|-1<x<3} | D. | {x|-1≤x<3} |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (8,+∞) | B. | (-∞,0)∪(8,+∞) | C. | (0,8) | D. | (-∞,0)∪(0,8) |
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