精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
2.已知函数f(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$,g(x)=x-1.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若关于x的方程f(x)-g(x)+a=0在区间($\frac{1}{e}$,e)上有两个不等的根,求实数a的取值范围;
(3)若存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>kg(x),求实数k的取值范围.

分析 (1)求出导数,由导数小于0,可得减区间,注意定义域;
(2)由题意可得-a=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1)在($\frac{1}{e}$,e)上有两个实根,令h(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1),求出导数,求得单调区间、极值和最值,可得a的范围;
(3)由题意可得当x∈(1,x0)时,f(x)的图象恒在直线y=k(x-1)的上方,求出f(x)的单调区间,画出它们的图象,由直线和曲线相切,求得k,再由直线旋转可得k的范围.

解答 解:(1)函数f(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$的导数为
f′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)=$\frac{1-{x}^{2}+x}{x}$,(x>0),
由f′(x)<0,可得x>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,
即有f(x)的单调减区间为($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,+∞);
(2)由题意可得-a=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1)在($\frac{1}{e}$,e)上有两个实根,
令h(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$-(x-1),h′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)-1=$\frac{(1-x)(1+x)}{x}$,
即有h(x)在($\frac{1}{e}$,1)递增,(1,e)递减,
且h(1)=0,h($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2-$\frac{1}{e}$>h(e)=2-e-$\frac{1}{2}$(e-1)2
由题意可得-$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2-$\frac{1}{e}$<-a<0,
解得0<a<$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{e}$)2+$\frac{1}{e}$;
(3)由题意可得当x∈(1,x0)时,f(x)的图象恒在直线y=k(x-1)的上方,
由f′(x)=$\frac{1}{x}$-(x-1)=$\frac{1-{x}^{2}+x}{x}$,(x>0),可得f(x)的增区间为(1,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)
减区间为($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,+∞);
直线y=k(x-1)为过定点(1,0)的直线.
画出它们的图象,
当直线与曲线y=f(x)相切时,
切点为(1,0),可得k=f′(1)=1-(1-1)=1,
通过直线绕着定点(1,0)旋转,
可得k的取值范围是k<1.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.在等差数列{an}中,a2=0,a4=4,则{an}的前5项和S5=(  )
A.20B.14C.12D.10

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.已知函数f(x)=$\frac{1}{{\sqrt{3-x}}}$的定义域为M,g(x)=$\sqrt{x+1}$的定义域为N,则M∩N=(  )
A.{x|x≥-1}B.{x|x<3}C.{x|-1<x<3}D.{x|-1≤x<3}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.已知幂函数y=f(x)的图象过点$(3,\sqrt{3})$,则f(8)=$2\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知函数$f(x)={(\frac{1}{2})^{mx}}$,m为常数,且函数的图象过点(1,2)
(1)求m的值;
(2)若g(x)=4x-6,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.椭圆中心在原点,一个焦点F($\sqrt{2}$,0),且定点P(1,0)到椭圆上各点距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求椭圆方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.设F1,F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O为坐标原点,若双曲线右支上存在一点P,使$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0,且|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|,则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$+1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知函数f(x)=ex[$\frac{1}{3}$x3-2x2+(a+4)x-2a-4],其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直,求a的值;
(2)关于x的不等式f(x)<-$\frac{4}{3}$ex在(-∞,2)上恒成立,求a的取值范围;
(3)讨论函数f(x)极值点的个数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3^{x+1}}(x≤0)\\{log_2}x(x>0)\end{array}$,则不等式f(x)>3的解集为(  )
A.(8,+∞)B.(-∞,0)∪(8,+∞)C.(0,8)D.(-∞,0)∪(0,8)

查看答案和解析>>

同步练习册答案