【题目】如图,在三棱柱中, ,平面平面.
(1)求证: ;
(2)若,求.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,通过证明C1C⊥平面A1BC得到CC1⊥A1B. (2)第(2)问,以C为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角A1-BC1-A的余弦值 .
试题解析:
(1)因为平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,又BC⊥AC,
所以BC⊥平面AA1C1C,
因为C1C平面AA1C1C,
从而有BC⊥C1C.
因为∠A1CC1=90°,所以A1C⊥C1C,
又因为BC∩A1C=C,
所以C1C⊥平面A1BC,
A1B平面A1BC,所以CC1⊥A1B.
(2)如图,以C为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz.
由∠A1CC1=90°,AC=AA1得A1C=AA1.
不妨设BC=AC=AA1=2,
则B(2,0,0),C1(0,-1,1),A(0,2,0),A1(0,1,1),
所以=(0,-2,0), =(-2,-1,1), =(2,-2,0),
设平面A1BC1的一个法向量为,
由·=0, ·=0,可取=(1,0,2).
设平面ABC1的一个法向量为,
由·=0, ·=0,可取=(1,1,3).
cos, ==,
又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角,
所以二面角A1-BC1-A的余弦值为.
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【题目】《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】几何体如图,球心为O,半径为,表面积为,选B.
点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】是双曲线的左右焦点,过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知向量 ,其中.函数的图象过点,点与其相邻的最高点的距离为4.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)计算的值;
(Ⅲ)设函数,试讨论函数在区间 [0,3] 上的零点个数.
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【题目】济南市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求第四个小矩形的高,并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分;
(2)已知样本中,成绩在[140,150]内的有2名女生,现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流,求选取的两人中至少有一名女生的概率.
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【题目】有下列命题:①若,则;②若,则存在唯一实数,使得;③若,则;④若,且与的夹角为钝角,则;⑤若平面内定点满足,则为正三角形.其中正确的命题序号为 ________.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为, ,且离心率为, 为椭圆上任意一点,当时, 的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点,延长直线, 分别与椭圆交于点, ,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证: 为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设由题,由此求出,可得椭圆的方程;
(2)设, ,
当直线的斜率不存在时,可得;
当直线的斜率不存在时,同理可得.
当直线、的斜率存在时,,
设直线的方程为,则由消去通过运算可得
,同理可得,由此得到直线的斜率为,
直线的斜率为,进而可得.
试题解析:(1)设由题,
解得,则,
椭圆的方程为.
(2)设, ,
当直线的斜率不存在时,设,则,
直线的方程为代入,可得,
, ,则,
直线的斜率为,直线的斜率为,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得.
当直线、的斜率存在时,,
设直线的方程为,则由消去可得:
,
又,则,代入上述方程可得
,
,则
,
设直线的方程为,同理可得,
直线的斜率为,
直线的斜率为,
.
所以,直线与的斜率之积为定值,即.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数, ,在处的切线方程为.
(1)求, ;
(2)若方程有两个实数根, ,且,证明: .
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【题目】假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其中是按直线上升的房价,是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
t | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
/万元 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
/万元 | 20 | 40 | 80 |
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
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【题目】已知曲线:(为参数)和曲线:(为参数).
(1)化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点对应的参数为,为上的动点,求中点到直线:(为参数)距离的最小值及此时点的坐标.
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