Question

8．方程x${\;}^{\frac{1}{3}}$=（$\frac{1}{2}$）^x的解所在的区间是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{2}{3}$，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 令f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$-（$\frac{1}{2}$）^x，从而利用函数的单调性可判断f（$\frac{1}{3}$）＜0，f（$\frac{2}{3}$）＞0；从而确定答案．

解答 解：令f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$-（$\frac{1}{2}$）^x，
∵y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$在R上是增函数，
∴（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＜（$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{3}$，（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＞（$\frac{1}{4}$）$\frac{1}{3}$=$（\frac{1}{2}）^{\frac{2}{3}}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）＜0，f（$\frac{2}{3}$）＞0；
∴方程x${\;}^{\frac{1}{3}}$=（$\frac{1}{2}$）^x的解所在的区间是（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
故选B．

点评 本题考查了函数零点的判定定理的应用及函数的单调性的应用．