Question

（2013•门头沟区一模）对于集合M，定义函数f_M（x）=

-1，x∈M 1，x∉M

，对于两个集合M，N，定义集合M?N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1．已知A={1，2，3，4，5，6}，B={1，3，9，27，81}．
（Ⅰ）写出f_A（2）与f_B（2）的值，并用列举法写出集合A?B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P?A）?（Q?B）=A?B．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用新定义写出f_A（2）和f_B（2）的值，并用列举法写出集合A?B；
（Ⅱ）要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，从而得出Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（III）先验证得到?运算具有交换律和结合律，从而有（P?A）?（Q?B）=（P?Q）?（A?B），而（P?A）?（Q?B）=（A?B），所以P?Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}，从而得到满足条件的集合对（P，Q）有2⁹个．

解答：解：（Ⅰ）f_A（2）=-1，f_B（2）=1，
∴A?B={2，4，5，6，9，27，81}．…（3分）
（Ⅱ）X?A={x|x∈X∪A，x∉X∩A}，X?B={x|x∈X∪B，x∉X∩B}
要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，
1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，
所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，
Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，最小值是7         …（8分）
（Ⅲ）因为f_A?B（x）=f_A（x）•f_B（x），
f_（A?B）?C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x）
所以?运算具有交换律和结合律，
所以（P?A）?（Q?B）=（P?Q）?（A?B）
而（P?A）?（Q?B）=（A?B）
所以P?Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}
所以满足条件的集合对（P，Q）有2⁹=512个                   …（13分）

点评：本题考查子集与交集、并集运算的转换，集合的基本运算，考查逻辑推理能力，分类讨论思想的应用．