Question

3．在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=$\frac{1}{2}$DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，则（　　）

• A． m+n是定值，定值为2
• B． 2m+n是定值，定值为3
• C． $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值，定值为2
• D． $\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值，定值为3

Answer 1

分析 根据条件$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$便得到$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m（\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}）$，从而得到$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$，同理可由条件$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$得到$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$，这样由$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$，及$\overrightarrow{DM}$∥$\overrightarrow{DN}$即可得到1$-\frac{1}{n}=-2（1-\frac{1}{m}）$，从而得到$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=3$，从而选项D正确．

解答 解：连接DA，由$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$得：
$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m\overrightarrow{DB}-m\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$；
同理，由$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$：$\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DA}=n\overrightarrow{DC}-n\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$；
∵$BD=\frac{1}{2}DC$；
∴DC=2BD；
∴$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$；
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}=\frac{-2}{m}\overrightarrow{DM}$$-2（1-\frac{1}{m}）\overrightarrow{DA}$；
$\overrightarrow{DM}$和$\overrightarrow{DN}$共线，∴存在实数λ，使$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DN}$；
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+（1-\frac{1}{n}）\overrightarrow{DA}$=$-\frac{2λ}{m}\overrightarrow{DN}+（-2+\frac{2}{m}）\overrightarrow{DA}$；
∴$1-\frac{1}{n}=-2+\frac{2}{m}$；
∴$\frac{1}{n}+\frac{2}{m}=3$；
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$是定值，定值为3．
故选：D．

点评 考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．