A. | m+n是定值,定值为2 | B. | 2m+n是定值,定值为3 | ||
C. | $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值,定值为2 | D. | $\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$是定值,定值为3 |
分析 根据条件$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$便得到$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA})$,从而得到$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+(1-\frac{1}{m})\overrightarrow{DA}$,同理可由条件$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$得到$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+(1-\frac{1}{n})\overrightarrow{DA}$,这样由$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$,及$\overrightarrow{DM}$∥$\overrightarrow{DN}$即可得到1$-\frac{1}{n}=-2(1-\frac{1}{m})$,从而得到$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=3$,从而选项D正确.
解答 解:连接DA,由$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$得:
$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=m\overrightarrow{DB}-m\overrightarrow{DA}$;
∴$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{DM}+(1-\frac{1}{m})\overrightarrow{DA}$;
同理,由$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$:$\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DA}=n\overrightarrow{DC}-n\overrightarrow{DA}$;
∴$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+(1-\frac{1}{n})\overrightarrow{DA}$;
∵$BD=\frac{1}{2}DC$;
∴DC=2BD;
∴$\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$;
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+(1-\frac{1}{n})\overrightarrow{DA}=\frac{-2}{m}\overrightarrow{DM}$$-2(1-\frac{1}{m})\overrightarrow{DA}$;
$\overrightarrow{DM}$和$\overrightarrow{DN}$共线,∴存在实数λ,使$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DN}$;
∴$\frac{1}{n}\overrightarrow{DN}+(1-\frac{1}{n})\overrightarrow{DA}$=$-\frac{2λ}{m}\overrightarrow{DN}+(-2+\frac{2}{m})\overrightarrow{DA}$;
∴$1-\frac{1}{n}=-2+\frac{2}{m}$;
∴$\frac{1}{n}+\frac{2}{m}=3$;
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$是定值,定值为3.
故选:D.
点评 考查向量减法的几何意义,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -4<a≤2 | B. | -4≤a<2 | C. | a≤4 | D. | a≥-4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 求和S=2+22+…+264 | B. | 求和S=1+2+22+…+263 | ||
C. | 求和S=1+2+22+…+264 | D. | 以上均不对 |
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