Question

14．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直x轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．

解答 解：将x=c代入双曲线的方程得y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
在△MF₁F₂中tan45°=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=1
即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}=1$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线中三参数的关系：c²=a²+b²，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．