Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点，F为PB中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥面PAC；
（Ⅱ）求C-ABP的体积．

Answer 1

分析：（I）由线面垂直的性质可得PA⊥BC，从而可证BC⊥平面PAC，利用EF∥BC可证EF⊥平面PAC；
（II）证明∠ACP为PC与⊙O所在的平面成的角，求出AC，BC，PA，代入棱锥的体积公式计算．

解答：解：（I）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵E是PC中点，F为PB中点，
∴EF∥BC，
∴BC⊥平面PAC．
（II）∵PA⊥平面ABC，
∴AC为PC在平面ABC内的射影，
∴∠ACP为PC与⊙O所在的平面成的角，∠PCA=45°，
在△ABC中，AC=BC，AB=2，∠ACB=90°，
∴AC=

2

，
在△PAC中，∠PAC=45°，
∴PA=AC=

2

，
∴V_C-ABP=V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

点评：本题考查了线面垂直的性质与判定，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．