Question

10．已知f（x）=log₄（4^x-1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据4^x-1＞0求解即可
（2）利用单调性的定义判断即可
（3）根据（2）问结论得出最大值，最小值即可得出值域．

解答 解：（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），
（2）f（x）在（0，+∞）上单调增，
设0＜x₁＜x₂，则f（x1）-f（x2）=log4（4x1-1）-log4（4x2-1）=log₄$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$
又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1
∴0＜$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$＜1，即log₄$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上单调增．
（3）∵f（x）区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴最小值为log₄（4${\;}^{\frac{1}{2}}$-1）=log₄1=0．
最大值为log₄（4²-1）=log₄15
∴值域为：[0，log₄15]

点评 本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．