Question

已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为_____________．

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：图一，设∠MOQ=x，则MQ=rsinx

在△OMN中，MN /sin(2α-x) =r /sin(180°-2α) ，∴MN=rsin(2α-x) /sin2α

∴矩形面积S=r²sin(2α-x) sinx/ sin2α =r² 2sin2α [cos(2x-2α)-cos2α]≤r² 2sin2α [1-cos2α]=1 /2 r²tanα

当且仅当x=α时，取得最大值，故图一矩形面积的最大值为1 2 r2tanθ，图二可拆分成两个，

图一角是2α，图二拆分后角是α，故根据图1得出的结论，可得矩形面积的最大值为

1/ 2 r²tan(θ/2)而图二时由两个这样的图形组成，所以两个则为r²tan(θ/ 2 )．

故答案为：r²tan(θ/2)