【题目】在如图所示的多面体中， 
平面
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
是
的中点.
(1)求证： 
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）由
， 
，知
．由
， 
是
的中点，知四边形
是平行四边形，由此能证明线面平行；（2）先证知
两两垂直．以点
为坐标原点， 
分别为
轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角
的余弦值.
试题解析：(1)证明：∵
， 
，∴
，又∵
， 
是
的中点，∴
，且
，∴四边形
是平行四边形，∴
.∵
平面
， 
平面
，∴
平面
.
(2)∵
平面
， 
平面
， 
平面
，∴
， 
，又
，∴
两两垂直，以点
为坐标原点， 
分别为
轴，建立如图的空间直角坐标系，由已知得
， 
， 
， 
， 
， 
，由已知得
是平面
的法向量，设平面
的法向量为
，∵
， 
，∴
，即
，令
，得
.设二面角
的大小为
. 
，∴二面角
的余弦值为
.
智能训练练测考系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为
元/件（
），则新增的年销量
（万件）.
（1）写出今年商户甲的收益
（单位：万元）与的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某养鸡场为检验某种药物预防某种疾病的效果，取100只鸡进行对比试验，得到如下列联表（表中部分数据丢失， 
， 
， 
， 
， 
， 
表示丢失的数据）：
工作人员记得
.
（1）求出列联表中数据
， 
， 
， 
， 
， 
的值；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效？
参考公式： 
，其中
| 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表：
年龄（岁） |
|
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（1）由以上统计数据填写下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
年龄不低于45岁的人 | 年龄低于45岁的人 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（2）若对年龄分别在
， 
的被调查人中各抽取一人进行追踪调查，求选中的2人中至少有一人赞成使用微信交流的概率.
参考公式： 
，其中
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间
， 
， 
， 
进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间
上的女生数与体重在区间
上的女生数之比为
.
(1)求
的值；
(2)从样本中体重在区间
上的女生中随机抽取两人，求体重在区间
上的女生至少有一人被抽中的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知袋中放有形状大小相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球
个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率为
，现从袋中不放回地随机取出2个小球，记第一次取出的小球标号为
，第二次取出的小球标号为
.
（1）记“
”为事件
，求事件
发生的概率.
（2）在区间
上任取两个实数
，求事件
“
恒成立”的概率.
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