Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[ ， ]，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，设PA=a，

则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，2，0，），E（1，1， ），

∴ =（1，0，0）， =（0，1， ）， =（0，2，0），

∴ =0， =0，

∴AB⊥BE，AB⊥BF，又BE∩BF=B，

AB⊥平面BEF，又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF

（2）解：由（1）知 =（﹣1，2，0）， =（0，1， ），

设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣a，﹣ ，1），

∵PA⊥平面ABCD，∴ =（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，

∴cos＜ ＞= = ，

∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[ ， ]，

∴ ≤ ≤ ，

解得： ≤a≤ ．

【解析】（1）建立坐标系，设PA=a，求出各向量的坐标，利用数量积证明AB⊥BF，AB⊥BE，故而AB⊥平面BEF，于是平面ABE⊥平面BEF；（2）求出两平面的法向量，计算法向量的夹角，根据二面角的范围列不等式组解出a的范围．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．