Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；
（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P-BEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、CA，即可证明平面PBE⊥平面PAC；
（2）取CD的中点F，连接EF，证明AD平行平面PEF内的直线EF，即可证明结论；
（3）PA=AB=2，利用求三棱锥P-BEF的体积．
解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，BE?底面ABC，
∴PA⊥BE．（1分）
又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，
∴BE⊥CA．（2分）
又PA∩CA=A，
∴BE⊥平面PAC．（4分）
∵BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）解：取CD的中点F，连接EF，则F即为所求．（7分）
∵E，F分别为CA，CD的中点，
∴EF∥AD．（8分）
又EF?平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF．（10分）
（Ⅲ）解，根据题意可得
．（14分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．