Question

对函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0，b、c∈R）作x=h（t）的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是 ______．
（1）．h（t）=10^t；（2）．h（t）=t²；（3）．h（t）=2t；（4）．h（t）=log₂t．

Answer 1

解：（1）h（t）=10^t＞0，h（x）=ax²+bx+c的定义域由原来的R变为（0，+∞），所以函数的值域发生改变
（2）h（t）=t²≥0，h（x）=ax²+bx+c的定义域由原来的R变为[0，+∞），所以函数的值域发生改变
（3）h（t）=2t∈R，但f（t）=4at²+2bt+c与原来函数的解析式不同，函数的值域不同
（4）h（t）=log₂t∈R，且函数的解析式没有发生变化，故函数的值域不变．
故答案为：（4）
分析：（1）要使函数的值域不变，根据函数的定义可知函数的定义域与函数的解析式都不能发生改变，（2）作x=h（t）的代换后函数的定义域改变，（3）作x=h（t）2t的代换，函数的解析式将发生改变．
点评：本题以函数的值域的求解为载体，考查函数的构成的三要素：定义域、值域、对应法则，若其中两个发生变化，则第三个量将发生变化．