【题目】已知M( ,0),N(2,0),曲线C上的任意一点P满足: = | |.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B,过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问:点S是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设点P(x,y),∵M( ,0),N(2,0), ∴ =(﹣ ,0), =(x﹣ ,y), =(2﹣x,﹣y),
代入 = | |,化简得 + =1,
所以曲线C的方程为 + =1;
(Ⅱ)结论:点S是在同一条直线x= 上.
理由如下:
(i)当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x﹣2),
将直线方程代入曲线C: + =1中,
化简得:(5+9k2)x2﹣36k2x+(36k2﹣45)=0.
设点R(x1 , y1),Q(x2 , y2),利用根与系数的关系得:x1+x2= ,x1x2= ,
在曲线C的方程中令y=0得x=±3,不妨设A(﹣3,0),B(3,0),
则kBR= ,则直线BR:y= (x﹣3).
同理直线 .
由直线方程BR、AQ,消去y,
得x= = = = ,
所以点S是在直线x= 上;
(ii)当直线的斜率不存在时,则直线方程为x=2.
可得点S的横坐标为 .
综合(i)(ii)得,点S是在同一条直线x= 上
【解析】(Ⅰ)设点P(x,y),通过M、N点坐标,可得 、 、 的坐标表示,利用 = | |计算即可;(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线方程并代入曲线C中,化简后利用韦达定理计算即得结论;当直线的斜率不存在时,即得结论.
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【题目】将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有性质_____.(填入所有正确结论的序号)
①最大值为,图象关于直线对称;
②图象关于y轴对称;
③最小正周期为π;
④图象关于点对称.
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【题目】已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)将已知两式作差,利用等比数列的通项公式,可得公比,由等比数列的求和可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得bn=n,,由裂项相消求和可得答案.
(1)等比数列的前项和为,公比,①,
②.
②﹣①,得,则,
又,所以,
因为,所以,
所以,
所以;
(2),
所以前项和.
【点睛】
裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和,还有一类隔一项的裂项求和,如或.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数的图象上有两点,.函数满足,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)能否保证和中至少有一个为正数?请证明你的结论.
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【题目】给出下列两个命题:命题p1:a,b∈(0,+∞),当a+b=1时, + =4;命题p2:函数y=ln 是偶函数.则下列命题是真命题的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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【题目】在一段时间内,分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
价格x | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2 | 2.2 |
需求量y | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
已知,
(1)画出散点图;
(2)求出y对x的线性回归方程;
(3)如价格定为1.9万元,预测需求量大约是多少?(精确到0.01 t).
参考公式: .
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【题目】已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1 , x2∈(0,+∞)时,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0.设 ,则( )
A.f(a)>f(b)>f(c)
B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(c)>f(a)>f(b)
D.f(c)>f(b)>f(a)
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,点P在底面的射影为点O,PO=3,点E为线段PD中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若点F为侧棱PA上的一点,当PA⊥平面BDF时,试确定点F的位置,并求出此时几何体F﹣BDC的体积.
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数取出.先取1;再取1后面两个偶数2,4;再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去,得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个新数列中,由1开始的第2 019个数是( )
A. 3 971B. 3 972C. 3 973D. 3 974
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【题目】给出下面四个推理:
①由“若是实数,则”推广到复数中,则有“若是复数,则”;
②由“在半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中,正方体的体积最大”;
③以半径R为自变量,由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”;
④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”.
其中,推理得到的结论是正确的个数有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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