Question

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x∈[-1，1]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，且f（-1）=-1．若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．t≤

  1

  2

  或t=0或t≥

  1

  2

• C．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• D．t≤-2或t=0或t≥2

Answer 1

分析：由①②和奇函数的定义、增函数的定义，判断出是奇函数、增函数，再求出f（x）在[-1，1]上的最大值，将恒成立转化为：t²-2at≥0对所有的a∈[-1，1]都成立，设g（a）=t²-2at，由一次函数的性质列出不等式求解．

解答：解：由f（x）+f（-x）=0得，f（x）=-f（-x），
则定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∵对任意x∈[-1，1]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函数，
则f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）=-f（-1）=1，
∵f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，
∴t²-2at≥0对所有的a∈[-1，1]都成立，
设g（a）=t²-2at，a∈[-1，1]，
则

g(1)≥0 g(-1)≥0

，∴

t2-2t≥0 t2+2t≥0

，解得t≤-2或t=0或t≥2，
故选D．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及构造函数法解决恒成立问题．