Question

（本小题满分14分）
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．

(1)求证：VD∥平面EAC；
(2)求二面角A—VB—D的余弦值．

Answer 1

（1）只需证VD∥EO；（2）。

试题分析：(1)由正视图可得：平面VAB⊥平面ABCD，连接BD交AC于O 点，连EO，由已知可得BO=OD，
VE=EB
∴ VD∥EO  
又VD平面EAC，EO平面EAC
∴ VD∥平面EAC  
(2)设AB的中点为P，则由题意可知VP⊥平面ABCD，
建立如图所示坐标系

设=(x,y,z)是平面VBD法向量，
=(-2,2,0)    

由，
∴
∴ 
∴二面角A—VB—D的余弦值
点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。