Question

16．f（x）=log_a$\frac{1-mx}{1-x}$为奇函数（a＞1）
（1）求实数m的值；
（2）解不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，代入得出m=-1；
（2）因为f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=（-1+$\frac{2}{1-x}$）且a＞1，所以f（x）在定义域（-1，1）内单调递增，再列不等式求解．

解答 解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
即log_a$\frac{1-mx}{1-x}$+log_a$\frac{1+mx}{1+x}$=log_a$\frac{1-m^2x^2}{1-x^2}$=0，
所以，$\frac{1-m^2x^2}{1-x^2}$=1，解得m²=1，
因此，m=-1（舍m=1）；
（2）因为f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=（-1+$\frac{2}{1-x}$）且a＞1，
所以函数f（x）在定义域（-1，1）内单调递增，
而f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）＜0可化为：f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（x-$\frac{1}{4}$），
不等式等价为：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
即不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）的解集为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，复合函数的单调性及其应用，不等式的解法，属于中档题．