Question

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2$\sqrt{3}$，acosB=bcosA，则△ABC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角差公式化简整理求得A=B，进而求得a=b．根据余弦定理求得a，b，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵acosB=bcosA，且C=120°，c=2$\sqrt{3}$，
∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，
即sin（A-B）=0，故A=B，由正弦定理可得：a=b，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC可得：12=a²+a²-2×a×a×cos120°，解得a=b=2．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查．