Question

14．已知直线l：y=（1-m）x+m（m∈R）．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角$α∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线的斜率和倾斜角的范围可得m的不等式，解不等式可得；
（Ⅱ）由题意可得点B（0，m）和点A（$\frac{m}{m-1}$，0），可得S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{1}{2}$[（m-1）+$\frac{1}{m-1}$+2]，由基本不等式求最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由已知直线l斜率k=1-m，
∵倾斜角$α∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，
由k=tanα可得1≤k≤$\sqrt{3}$，
∴1≤1-m≤$\sqrt{3}$，
解得1-$\sqrt{3}$≤m≤0；
（Ⅱ）在直线l：y=（1-m）x+m中，令x=0可得y=m，
∴点B（0，m）；令y=0可得x=$\frac{m}{m-1}$，
∴点A（$\frac{m}{m-1}$，0），由题设可知m＞1，
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{1}{2}$•m•$\frac{m}{m-1}$=$\frac{（m-1）^{2}+2（m-1）+1}{2（m-1）}$
=$\frac{1}{2}$[（m-1）+$\frac{1}{m-1}$+2]≥$\frac{1}{2}$[2$\sqrt{（m-1）•\frac{1}{m-1}}$+2]=2，
当且仅当（m-1）=$\frac{1}{m-1}$即m=2时S取得最小值2，
此时直线l的方程为：x+y-2=0

点评 本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及基本不等式求最值，属中档题．