Question

已知函数y=f（x）对任意的实数都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（Ⅰ）记a_n=f（n）（n∈N*），S_n=

n

i=1

ai，设bn=

2Sn

an

+1，且{b_n}为等比数列，求a₁的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c_n=

(n+anbn)2+7-2n

n

，问：是否存在最大的整数m，使得对于任意n∈N*，均有c_n＞

m

3

？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列与函数的关系，确定出数列{a_n}的通项公式即函数的解析式，利用数列{b_n}与数列{a_n}的关系，根据数列{b_n}为等比数列，寻找其前3项满足的关系式，通过求解方程求出a₁的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的数列{a_n}的通项公式，求出其前n项和表达式，进而确定出数列{b_n}的通项公式，算出c_n的表达式．利用c_n的单调性确定出其最小值，进而确定出合题意的m．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁．
∴f（1）≠0，∴a₁≠0，∴a_n≠0（n∈N*），
∴{a_n}是以a₁为首项，a₁为公比的等比数列，∴a_n=a₁ⁿ．
当a₁=1时，a_n=1，S_n=n，此时b_n=2n+1，{b_n}不是等比数列，
∴a₁≠1．又{a_n}成等比数列，{b_n}成等比数列，∴b₂²=b₁b₃．
∵b₁=

2S1

a1

+1=3，b2=

2(a1+a2)

a2

+1=

2(a1+ a 2 1 )

a 2 1

+1=

3a1+2

a1

，b₃=

2(a1+ a 2 1 + a 3 1 )

a 3 1

+1=

3 a 3 1 +2a1+2

a 2 1

，∴(

3a1+2

2

)2=

9 a 2 1 +6a1+6

a 2 1

，解得a₁=

1

3

．

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，a_n=

1

3n

，Sn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
b_n=

2Sn

an

+1，∴a_nb_n=2S_n+a_n=1-

1

3n

+

1

3n

=1．∴c_n=

(n+1)2+7-2n

n

=n+

8

n

．
由c_n+1-c_n=1-

8

n(n+1)

＞0，得n（n+1）＞8．
∵n∈N*，∴n≥3．
∵c₁=9，c₂=6，c₃=

17

3

＜16，且当n≥4时，均有c_n＞c₃=

17

3

，
∴存在这样的m=16，能使对所有的∵n∈N*，有c_n＞

m

3

成立．

点评：本题是数列与函数的综合问题，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的转化与化归能力．考查学生对抽象函数求值问题的理解和认识、等比数列有关知识的理解和认识．考查学生的函数思想研究数列问题的能力．