Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0，当x=

2

3

时，y=f（x）有极值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′(

2

3

)=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．
（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[-3，1]上的单调性，最后可求出最值．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得
f′（x）=3x²+2ax+b
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=

2

3

时，y=f（x）有极值，则f′(

2

3

)=0，
可得4a+3b+4=0．②
由①、②解得a=2，b=-4．
由于l上的切点的横坐标为x=1，
∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．
∴c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，或x=

2

3

．

∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=13．
在x=

2

3

处取得极小值f(

2

3

)=

95

27

．
又f（-3）=8，f（1）=4．
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为

95

27

．

点评：本题主要考查导数的几何意义、函数在闭区间上的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．