如图所示.已知双曲线x2a2-y2b2=1.A.B为双曲线的两个顶点．(1)当a=2.b=3.直线l:y=x-4与双曲线交于C.D两点.求线段CD的长度,(2)在x轴上是否存在这样一个定点M.过M的直线与双曲线有两个交点C.D.并且无论怎么旋转直线CD(在保证直线和双曲线有两个交点的前提下).始终CA⊥AD．如果存在.请求出λ的值,如果不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示，已知双曲线

=1，A、B为双曲线的两个顶点．
（1）当a=2，b=

，直线l：y=x-4与双曲线交于C、D两点，求线段CD的长度；
（2）在x轴上是否存在这样一个定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD（在保证直线和双曲线有两个交点的前提下），始终CA⊥AD．如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设条件推导出双曲线方程为

=1，联立

y=x-4

，得：x²-32x+76=0，利用椭圆弦长公式能求出线段CD的长度．
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，设直线CD的方程为y=k（x-λ），设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由A（2，0），分别求出CA和AD的斜率，由CA⊥AD，得到CA与AD两直线的斜斜率的乘积为-1，由此得到一个表达式，再把点C和D的坐标分别代入直线CD的方程得到另一个表达式，比较两个表达式能求出结果．

解答： 解：（1）∵双曲线

=1，a=2，b=

，
∴双曲线方程为

=1，
联立

y=x-4

，消去y，并整理，得：x²-32x+76=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=32，x₁x₂=76，
∴|CD|=

(1+1)(322-4×76)

=12

．
∴线段CD的长度为12

．
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，
并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，
设直线CD的方程为y=k（x-λ），
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵A（2，0），∴kCA=

x3-2

，k_AD=

x4-2

，
∵CA⊥AD，∴kCA•kAD=

x3-2

•

x4-2

=-1，
整理，得y₃y₄=-x₃x₄+2（x₃+x₄）-4，①
∵y=k（x-λ），
∴y₃y₄=[k（x₃-λ）][k（x₄-λ）]
=k²x₃x₄-k²λ（x₃+x₄）+k²λ²，②
由①②，得k²=-1，λ=2，不成立，
∴不存在这样的定点M（λ，0）．

点评：本题考查弦长的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用，注意反证法的合理运用．

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（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=-2x+m的图象一定不经过第一象限；
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