Question

9．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n且$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}-{S}_{n-1}}=\frac{{2a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，（n≥2，n∈N^*）设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n（n∈N^*）
（1）设cn=$\frac{{4}^{\frac{{b}_{n+1}-1}{n+1}}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，记G_n=$\sum_{k=1}^{n}{c}_{k}$，试比较G_n与1的大小，并说明理由；
（2）若数列{l_n}满足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在每两个l_k与l_k+1之间都插入2^k-1（k=1，2，3，…，k∈N^*）个2，使得数列{l_n}变成了一个新的数列{t_p}，试问：是否存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2015？如果存在，求出m的值：如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}-{S}_{n-1}}=\frac{{2a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，（n≥2，n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，化为a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n=n+b_n，可得b_n+1-b_n=n，利用“累加求和”即可得出b_n．可得c_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”可得G_n．
（2）l_n=log₂（a_n+1）=n．假设存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2015．数列{t_p}：1；2，2；2，2，3；2，2，2，2，4；…，k；$\underset{\underbrace{2，2，…，2}}{{2}^{k-1}}$，k+1；…．T₅₂₁=${T}_{{2}^{9}-1+10}$=1077＜2015，2015-1077=938=2×469，进而得出．

解答 解：（1）由$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}-{S}_{n-1}}=\frac{{2a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，（n≥2，n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，化为a_n+1=2a_n+1，
变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
又数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，
当n=1时也满足，
因此数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，∴a_n+1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．
b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n=n+b_n，
∴b_n+1-b_n=n，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
$\frac{{b}_{n+1}-1}{n+1}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}+1-1}{n+1}$=$\frac{n}{2}$．
c_n=$\frac{{4}^{\frac{{b}_{n+1}-1}{n+1}}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
G_n=$\sum_{k=1}^{n}{c}_{k}$=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．
∴G_n＜1．
（2）l_n=log₂（a_n+1）=n．
假设存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2015．
数列{t_p}：1；2，2；2，2，3；2，2，2，2，4；…，k；$\underset{\underbrace{2，2，…，2}}{{2}^{k-1}}$，k+1；…．
T₅₂₁=${T}_{{2}^{9}-1+10}$=1+2+2+（2+2）+3+2²×2+4+…+9+2⁸×2+10=（1+2+…+10）+（2+2²+…+2⁹）=$\frac{10×11}{2}$+$\frac{2（{2}^{9}-1）}{2-1}$=1077＜2015，
2015-1077=938=2×469，
T₉₉₀=T_521+469=1+2+2+（2+2）+3+2²×2+4+…+9+2⁸×2+10+2+2+…+2=2015，
因此存在正整数m=990，使得数列{t_p}的前990项的和T_m=2015．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．