Question

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知当x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）用题目中所给的条件建立方程，通过消元得到关于角A的等式，利用它求角A的砰然函数值来，进而求出角．
（2）题目中知道了最大值为3，利用f_max=3建立相关的方程，此处要用二次函数在某一个确定区间上的最值问题的相关知识来最值为3的条件转化为参数a的方程来求值，进而再由面积公式求出三角形的面积，

解答：解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（

3

-1）sinC
sinA=（

3

-1）sin（120°-A）=（

3

-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴t∈[

1

2

，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-

a

4

）²+

a2

8

+1，t∈[

1

2

，1]
若

a

4

＜

1

2

，即a＜2
f_max=g（

1

2

）=

1

2

a+

1

2

=3，，故a=5（舍去）
若

1

2

≤

a

4

≤1即2≤a≤4，
f_max=g（

a

4

）=

a2

8

+1=3，得a=3
若

a

4

＞1，即a＞4，
f_max=g（

1

2

）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2

3

．

点评：本题考查了正弦定理，角的变换，三角转化为函数，利用函数的相关知识得到关于最值3的方程，求参数求最值，方法灵活，技巧性很强，是一道能训练答题都灵活答题能力的好题