Question

已知函数f(x)＝asinωx＋bcosωx部分图像，如图所示(a，b，ω∈R，且ω＞0)．

(1)求a，b，ω的值；

(2)设关于t的方程t²＋mt＋n＝0(m，n∈R，且m≠0)有两个不等实数根；

①若|m|＋|n|＜1，证明f²(x)＋mf(x)＋n＝0在(－π，)内有两个不等实数根；

②上述①的逆命题是否成立，并给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)由图像易知函数f(x)的周期为T＝4＝2π， 　　∴ω＝1．上述函数的图像是由y＝sinx的图像沿x轴负方向平移个单位得到的，其解析式为f(x)＝sin(x＋)． 　　∴a＝，b＝． 　　(2)①由|m|＋|n|≤1得|m＋n|≤|m|＋|n|＜1，∴m＋n＞－1． 　　同样|m－n|≤|m|＋|n|＜1，∴m－n＜1． 　　令g(t)＝t2＋mt＋n，显然g(1)＝m＋n＋1＞0，g(－1)＝1－m＋n＞0． 　　而二次函数g(t)的对称轴t＝－∈(－1，1)， 　　∴二次方程t2＋mt＋n＝0两实根在(－1，1)中． 　　∴关于x的方程在sin2(x＋)＋msin(x＋)＋n＝0在()内有两个不同实根． 　　②逆命题不成立． 　　反例，关于t的方程为t2＋t＋＝0， 　　显然方程sin2(x＋)＋msin(x＋)＋n＝0在()内有两个不等的实根，但|m|＋|n|＝＝1．