Question

已知函数f（x）=

|x|

x+2

（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程f（x）=kx³有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用单调函数的定义证明函数的单调性设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时利用分式的性质求值域因为0≤x＜x+2∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；
（3）当x=0时，f（x）=kx³，∴x=0为方程的解．当x＞0时，∴x2(x+2)=

1

k

，当x＜0时，∴-x2(x+2)=

1

k

，即得到函数g（x）=

x2(x+2)，(x＞0) -x2(x+2)，(x＜0，x≠2)

，与函数h（x）=

1

k

图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，可得k的范围．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(x2+2)(x1+2)

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时，f（x）=

x

x+2

＞0，
又，
∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；
当x＜0（x≠-2）时，f（x）=

-x

x+2

=y，
∴x=

-2y

y+1

，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）当x=0时，f（x）=kx³，
∴x=0为方程的解．
当x＞0时，

x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=1，∴x2(x+2)=

1

k

，
当x＜0时，

-x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=-1，∴-x2(x+2)=

1

k

，
即看函数g（x）=

x2(x+2)，(x＞0) -x2(x+2)，(x＜0，x≠

-2)
与函数h（x）=

1

k

图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，
∴

1

k

＞-

32

27

，
∴k＜-

27

32

或k＞0．

点评：本题主要考查利用单调函数的定义证明函数的单调性，利用反函数与导数求函数的值域，解决此类问题的方法是熟悉单调函数的定义与求值域的方法．